SEMPLICE – COMPLESSO
I "TEOREMI" DI KURT GODEL
Alcune premesse
cercato di
Leibniz ha tentato di edificare un linguaggio capace di rappresentare gli enunciati ed i ragionamenti umani nella loro totalità.
La parte più interessante del suo tentativo è quella rivolta alla matematica.
Nell'indagine sulla Matematica egli cercò di "ridurre" le varie parti del ragionamento in componenti logiche ad ognuna delle quali era da associare un numero primo.
Ad esempio prospettava:
"Ad ogni termine dato si assegni un numero con quest'unica restrizione, che un termine formato da una combinazione d'altri termini abbia come numero corrispondente il prodotto dei numeri corrispondenti a quegli altri termini. … Se si immagina che "essere animato" sia espresso dal numero 2 e che "razionale" sia espresso da 3 … il termine "uomo" sarà espresso da 2x3, cioè 6".
Le idee di Leibinz trovarono una prima formalizzazione in
Gorge Boole e successivamente in Giuseppe Peano.alla comunità matematica seri ed inconsueti problemi.
La negazione dell'unicità della retta r parallela ad una fissata retta s
e passante per un punto non appartenente ad s era una asserzione che incontrava forti resistenze e scardinava la "verità assoluta" degli assiomi euclidei.
Molti matematici si dedicarono allo sviluppo della geometria iperbolica, nella speranza di mostrarne qualche falla e di confermare così l'assioma euclideo dell'unicità della parallela.
Pur se strana,
la geometria iperbolica non rivelò contraddizioni.Beltrami mostrò
che essa è consistente tanto quanto quella euclidea costruendo un modello del piano iperbolico nel piano euclideo: la geometria iperbolica aveva una "evidenza", forse più concreta di quella euclidea. (Poincaré; Klein)
La "accettazione" della geometria iperbolica fu, di fatto, legata alla "bontà" della geometria euclidea.
La geometria euclidea era già stata variamente collegata ai numeri reali (ad esempio Hilbert: "Fondamenti della Geometria"-1899). E, precedentemente, la "bontà" dei numeri reali era stata ricondotta a quella dei numeri interi.
Il contesto
Le idee, i pensieri della mente e le realtà concrete, in un'ottica antica, erano intrecciate ed interdipendenti: i simboli delle cose avevano una "evidenza naturale".
Il simbolismo non era un atto puramente formale ma aveva la funzione dell'analogia per "rendere concreto l'astratto", per portare comunque sotto il dominio dei sensi quello che sembrava fuori. Basta pensare alla numerologia.
La geometria euclidea era la geometria della Natura. L'evidenza dei suoi assunti era garanzia della sua "verità".
Ma
l'avvento delle geometrie non euclidee, e dei "modelli" che ne validano la "bontà" se la geometria euclidea è "buona", spinge verso un nuovo modo di intendere e di fare Matematica (formalismo di Hilbert e logicismo di Russell = riduzione della Matematica alla Logica).Couturat nel 1896 scrive:
"Un matematico non definisce le grandezze in se stesse,…… definisce la loro uguaglianza, la somma,…, e queste definizioni determinano, o meglio costituiscono, tutte le proprietà matematiche delle grandezze.
In modo ancora più astratto e formale, egli scrive simboli e al tempo stesso stabilisce le regole secondo le quali devono essere combinati; tali regole bastano a caratterizzare questi simboli e dare loro un valore matematico.
In breve, egli CREA le entità matematiche mediante convenzioni arbitrarie, nello stesso modo in cui i vari pezzi di scacchi sono definiti dalle convenzioni che ne governano le mosse e le reciproche relazioni."
Il vero compito del matematico puro è quello di derivare teoremi da ipotesi postulate
, senza che debba preoccuparsi se gli assiomi introdotti siano, di fatto, "veri".
La Matematica come "scienza della quantità" è inadeguata; essa è invece la scienza che trae le conclusioni implicite in un qualsiasi sistema d'assiomi o postulati.
In questo contesto
, creativo e formale, dovrebbe essere interpretata la "famosa" definizione di Russell per "Matematica" e "matematici".
In questo contesto
è messo in discussione il concetto di "verità matematica".
Quali considerazioni devono guidare la formulazione di un sistema assiomatico ?
Il rispetto dei seguenti due punti:
assiomi conseguenze contraddittorie"
abbastanza ricco da permettere la dimostrazione di tutti i ^fatti veri^ relativi alla struttura in questione"
Cosa si deve abbandonare:
Cosa si deve studiare:
Una parentesi
Chi ha scritto questo ?
"
Parecchi rigorosissimi matematici cultori della Scienza economica … vorrebbero … distruggere [la filosofia] per sostituirle i metodi dell’osservazione empirica e della costruzione matematica; nel quale atto vengono poi a caldeggiare una loro particolare e poco consapevole filosofia empiristica e matematicistica.
Per nostra parte,
a quegli egregi economisti, purissimi e matematicissimi, vorremo dire, se con ciò non si venisse a versare olio sul fuoco del loro furore: risparmiatevi la pena di filosofare.Calcolate e non pensate
!"
Risposta: B. Croce
Ma B. Russell aveva scritto:
"
Matematica è quella scienza nella quale non si sa di quel che si parla e non importa se quel che si dice è vero o falso"
e non
La matematica
è "una scienza nella quale non si sa mai di che cosa si parli; né se ciò di cui si parla sia vero"
La speranza di Hilbert
Nel 1900, al I Congresso Matematico Internazionale di Parigi, David Hilbert pone il problema della "coerenza degli assiomi dell'aritmetica" (alla quale aveva ridotto la Geometria nel suo lavoro del 1899).
Hilbert era profondamente convinto che questo problema avesse risposta positiva
, con un significato molto "stretto" e svincolato da ogni interpretazione fisica o matematica di modelli costruiti ad hoc.
Di più
era convinto che il problema potesse essere affrontato e risolto positivamente attraverso procedimenti logici "finitistici".Con questo termine si intende che il numero e la lunghezza degli assiomi impiegati e anche le regole di ragionamento utilizzate dovevano essere tali da essere ridotte ad un numero finito di singoli passi.
La sua fiducia derivava dal fatto che
lui stesso aveva già provato che una versione semplificata dell'aritmetica era priva di contraddizioni.
La sua indagine era progredita per gradi: aveva dimostrato la coerenza di un sistema logico semplice (dotato solo del concetto di negazione e del concetto e/o) ed aveva proseguito con le stesse tecniche fino al livello succitato.
Il Teorema guida nella sua indagine
è esprimibile nel seguente modo:
La coerenza di un sistema è equivalente all'impossibilità di dedurre, nel sistema, qualche enunciato.
Se il sistema S è coerente allora l'enunciato "qualcosa è vero e la sua negazione è vera" non si può dedurre.
Viceversa, ragionando per assurdo: Se S non fosse coerente, si può dedurre che esiste un enunciato tale che sia vero assieme alla sua negazione; allora tutti gli enunciati di S sono deducibili. E questo contrasta con l'ipotesi che in S c'è almeno un enunciato che non si può dedurre.
(Si noti che si assume l'ambito della logica a due valori)
Il programma "formalista" di Hilbert
era espresso chiaramente in questa sua frase:
"Ogni qualvolta si presentano dei concetti matematici, sia sul versante dell'epistemologia, sia in geometria o nelle teorie delle scienze naturali, la matematica si trova di fronte il problema di sondare i principi che stanno dietro i concetti e di isolarli per mezzo di un sistema, semplice e completo, di assiomi in modo che la precisione dei nuovi concetti e la loro applicabilità nelle argomentazioni deduttive non siano, sotto alcun aspetto, inferiori a quelle che si ottengono in aritmetica".
In definitiva, nel mondo matematico
l'unico criterio di significatività è la coerenza logica, non la "evidenza" (psicologica, storica, ecc.), non il possedere un'interpretazione, o un "modello", degli assiomi in questione.Ogni disciplina è "scienza", diranno in un primo tempo i membri del Circolo di Vienna, solo se "formalizzabile" (in termini matematici o fisici).
La Sorpresa
"Sulle proposizioni formalmente indecidibili nei Principia Mathematica e nei Sistemi connessi"
Nel 1931 l'articolo citato pone una
pietra tombale sulle speranze di Hilbert.
Ma K. Godel era partito bene!
Nell'anno 1930 egli aveva ottenuto un risultato nella direzione indicata da Hilbert:
un risultato di completezza per un sistema di logica particolarmente interessante. Nella discussione successiva alla presentazione di questo suo risultato, Godel stesso espresse riserve sulla "filosofia formalista":
"… si possono portare esempi di proposizioni …. che sono corrette dal punto del contenuto ma sono indimostrabili nel sistema formale della matematica classica".
Solo J. von Neumann comprese appieno le osservazioni di Godel.
Il famoso risultato del 1931 si può formulare in questo modo:
"Per qualunque sistema logico
abbastanza ampio da contenere l'aritmetica ordinaria si hanno questi due fatti
In pratica:
Attenzione
:Il tutto attraverso procedimenti logici "finitistici"; inoltre anche se assumessimo una delle "questioni matematiche indecidibili" tra gli assiomi, creando una teoria più ampia, il problema della completezza si ripresenterebbe nella nuova teoria.
La numerazione di Godel
Godel elaborò un sistema di numerazione dei segni elementari del calcolo logico ed un sistema di regole d'inferenza, mediante i quali potè assegnare un numero (detto numero di Godel) a ciascuna formula (o sequenza di segni elementari) e a ciascuna dimostrazione.
I primi dieci numeri interi sono assegnati in questo modo
.Ž 1 Non
Ú 2 Oppure
É 3 se … allora
$ 4 vi è un …
= 5 eguale a …
0 6 zero
s 7 l'immediato successore di
( 8 segno di interpunzione
) 9 segno di interpunzione
, 10 segno di interpunzione
Le regole di inferenza
sono le seguenti:
Variabili numeriche: 'x' , 'y', 'z', … possono essere sostituite da "numeri ed espressioni numeriche";
Variabili preposizionali: 'p', 'q',… possono essere
sostituite da "formule o proposizioni";
Variabili predicative: 'P', 'Q', 'R',… possono essere sostituite da predicati ("più grande", "primo"…).
x 11 p 112 P 113
y 13 q 132 Q 133
z 17 r 172 R 173
La regola per associare ad una "formula" il numero di Godel
è la seguente.
Considerata la formula costituita da un numero finito di segni elementari
k-esimo posto, si consideri il k-esimo numero primo dei venti e lo si elevi al numero "indicatore" del segno elementare;
Per esempio 243000000 esprime la formula " 0=0 ".
In modo ingegnoso Godel "aritmetizzò" anche la metamatematica e potè dare una formula aritmetica che rappresenta la proposizione metamatematica:
"la formula G non è dimostrabile"
;
a questa formula corrisponde un numero h e
la proposizione "scandalo" diviene:
"la formula con il numero h associato ad essa non è dimostrabile"
.
La "ripresa"
Alcuni "Matematici" sulla "Matematica"
Leibniz
"Tutta la nostra attività razionale consiste semplicemente nel mettere insieme e sostituire dei caratteri, siano questi parole o simboli o immagini … se riuscissimo …… potremmo estendere ciò che si fa in aritmetica e in geometria a tutti i campi che siano riconducibili al ragionamento …. E se qualcuno mettesse in dubbio i miei risultati, gli direi: "Calcoliamo, signore" …"
Sylvester
"La matematica… , proprio come la coscienza della vita, non può essere confinata entro limiti prestabiliti o ridotta a definizioni di validità permanente ."
Hilbert
"Se il pensiero matematico è imperfetto, dove si troveranno verità e certezza ?"
"
La convinzione della risolubilità di ogni problema matematico è per noi uno stimolo potente nel lavoro. … ecco il problema, cerca la soluzione. … Noi dobbiamo sapere. Noi sapremo."
Peano
"Lo scopo della Matematica che si insegna nelle scuole è quello di risolvere i problemi numerici che si incontrano nella vita pratica…"
Poincarè
"Cosa è infatti la scoperta matematica ? Essa non deve consistere nel ricercare nuove combinazioni mediante le entità precedentemente conosciute… la gran parte di esse sarebbero assolutamente prive di significato. Scoprire consiste precisamente non nel costruire combinazioni senza significato ma nel costruire quelle effettivamente utili, che sono infinitamente minori. Scoprire è discernere, selezionare."
Dieudonné
"Possiamo ammirare l'acutezza e la profondità delle ricerche che hanno condotto ai teoremi metamatematici di Godel …. Ma essi non hanno esercitato alcuna influenza (né negativa, né positiva) sulla soluzione della stragrande maggioranza dei problemi che i matematici studiano."
L.Schwartz
"… nell'elaborazione di una teoria matematica, il terreno viene preparato da scienziati della scuola "dei particolari" i quali trattano problemi con metodi nuovi, enunciano le questioni importanti… e cercano tenacemente le soluzioni…. Una volta che il loro compito è finito, entrano in gioco le idee degli scienziati più portati al generale …. che trattengono tutto ciò che è essenziale per il futuro della matematica."(un'opinione espressa da un sostenitore del bourbakismo che richiama le idee di I. Lakatos)
"
Da venticinque secoli i matematici correggono i propri errori, e vedono la loro scienza arricchirsi e non impoverirsi a seguito di ciò; questo dà loro il diritto di guardare al futuro con serenità."
H.Weyl
"Matematizzare potrebbe ben essere un'attività creativa dell'uomo di origine primitiva, al pari del linguaggio e della musica."
Jan Brouwer
"La matematica è un'attività mentale, essenzialmente priva di linguaggio, avente la propria origine nella percezione di un movimento nel tempo. Questa percezione … può essere descritta come lo scindersi di un momento di vita in due cose distinte, una delle quali dà luogo all'altra, ma viene ritenuta nella memoria (prima-dopo). Se la duità … viene spogliata da ogni qualità, si converte nella forma vuota del substrato comune di tutte le duità. Ed è questo substrato comune… a costituire l'intuizione di base della matematica."(interpretazione (?): la matematica è una attività umana derivante dal modo con cui la nostra mente dà significato a tutta l'esperienza, organizzandola in una successione di elementi)
R.Hersch
"Vogliamo capire la dimostrazione, non solosapere che esiste"
"Il punto di vista che io preferisco è quello umanista.
Per l'umanistala matematica è
nostra: è il nostro strumento,il nostro giocattolo … Per l'umanista lo scopo della dimostrazione è la comprensione… La dimostrazione è uno strumento al servizio dell'insegnante, non una pastoia per incatenarlo'; la dimostrazione è uno strumento al servizio della ricerca, non una pastoia per imbrigliare l'immaginazione del matematico.""Nel campo delle idee, degli oggetti mentali, quelle idee le cui proprietà sono riproducibili sono dette oggetti matematici
e la disciplina che studia questi oggetti mentali dotati di proprietà riproducibili viene detta matematica."
E.De Giorgi
"… la matematica non è solo in relazione con le scienze sperimentali, con la tecnica, con l'economia, ma, per molti aspetti, anche con la filosofia, la musica, le arti figurativa… la matematica è, in certo senso, costretta ad immergere la realtà finita e visibile in un quadro infinito sempre più esteso; … l'ordine delle cose può essere concepito solo come intreccio di relazioni tra enti materiali ed ideali che nel loro complesso formano una rete infinita."
"Io credo che
il problema degli assiomi sia anche un problema culturale al quale dovrebbero essere interessati tutti gli studiosi di discipline scientifiche ed umanistiche che si rendono conto dell'importanza delle relazioni che collegano la matematica agli altri rami del sapere."
"Molti collegano le parole 'assioma' o 'assiomatico' a una certa idea di presunzione o d'intolleranza …. la ricerca dei migliori assiomi è un tentativo di esporre con la massima chiarezza le idee che riteniamo vere o almeno interessanti e meritevoli di essere discusse."
"La matematica deve essere pensata come un sistema aperto in cui
, senza dimenticare o negare l'opera dei grandi matematici del passato, è sempre possibile introdurre nuove idee, nuovi postulati veramente significativi."
"Tutti ammettono la grande utilità della matematica … tuttavia molti la considerano arida e fredda…. Per superare questa diffidenza e questi pregiudizi … occorrerebbe ripetere … che
la prima dote del matematico è l'immaginazione, che la sua fantasia non è, in fondo, molto diversa da quella del musicista, del pittore, …..Un giusto rigore del linguaggio…. nasce dalla volontà di condividere il proprio sapere con il maggior numero di persone, di comunicare certezze, dubbi, problemi con la massima chiarezza e con il minimo rischio di malintesi, ambiguità, equivoci."
"Il vero scienziato, il buon docente, il buon divulgatore scientifico … sanno trarre ammaestramento dal ricordo degli errori commessi e dei tentativi falliti, sanno apprezzare le parole di Shakespeare 'vi sono più cose in cielo e in terra di quante ne sogna la tua filosofia '. Queste parole non sono un invito a 'sognare meno ' ma piuttosto a 'sognare più ', se vogliamo arrivare ad una comprensione più ampia, anche se sempre molto parziale, della realtà che ci circonda ed insieme un invito a diffidare degli scienziati che, avendo ottenuti alcuni brillanti successi, s'illudono di aver trovato la teoria ultima in cui dovrebbe essere possibile inquadrare ogni ulteriore ricerca."
Una Riflessione
"La Matematica e il metodo positivo sono invadenti"
. Frase lapidaria, inserita in un contesto che addita quale causa di molti eccessi "tecnologici" sia la Matematica sia il metodo positivo.
Siccome questa frase mi ha molto colpito, come docente di Matematica e come uomo, ho tentato di comprendere le ragioni per le quali possano essere scritte (e pensate) frasi di questo tipo.
Succede anche che siccome "la Matematica ha permesso ciò", il giudizio di valore sugli avvenimenti si scarica automaticamente sulla Matematica (o più in generale sulla Scienza). E’ come se le nostre personali manchevolezze si attribuissero direttamente ad Adamo ed Eva (per non salire più in alto).
Non vorrei scoprire che frasi come quella citata abbiano come base una conoscenza superficiale, o peggio una interpretazione di tipo "ideologico" (cioè precostituito) della Matematica e della sua natura.
Occorre dire, senza preoccupazione, che la Matematica permea ormai tutto il pensiero scientifico contemporaneo ( e non solo quello scientifico, ad Est come ad Ovest e tra non molto al Nord come al Sud).
Occorre fare i conti con questa realtà e chiedersi perché la Matematica sia così invasiva (non invadente) nelle scienze e nella realtà di ogni giorno.
La domanda sulla natura della Matematica è, in fondo, una falsa domanda, una qualsiasi risposta rischia di essere limitativa e fuorviante.
Ogni matematico può azzardare una risposta che sa già non essere quella conclusiva.
Accettiamo il fatto che la Matematica è una disciplina storicamente ben definita, che ha affascinato gli uomini fin dall’antichità, che
può indirizzare l’umanità nelle proprie scelte e che in taluni ha ispirato, ed ancora ispira, profondi sentimenti di religiosità.
Quando si parla di Matematica conviene evidenziare un cammino metodologico o se vogliamo un particolare schema mentale strutturato in alcuni punti fondamentali.
E’ bene anche precisare che molte delle più feconde definizioni o strumentazioni matematiche sono la formalizzazione di "naturalissimi" atteggiamenti o procedimenti mentali dell’uomo comune.
Con questo significato si può anche comprendere il carattere "dinamico" della Matematica ; in un certo qual modo, come il Diritto formalizza norme e comportamenti che "concretizzano la socialità", la Matematica formalizza pensieri e procedure mentali che "concretizzano la realtà" e che, come è ben chiaro, si evolvono nel tempo e si disvelano con paziente ricerca e riflessione.
L’analisi della Matematica potrebbe permettere di chiarire molto processi della nostra mente.
DOMANDA FINALE
La Matematica che l'uomo ha finora "prodotto" è esente da contraddizioni ?
Possiamo asserire, cioè, che:
la Matematica storicamente accettata è "coerente" ?
RIFLESSIONE CONCLUSIVA
Quanto è profonda la più semplice delle operazioni dell'uomo:
" Aggiungi uno"
Altre
Spigolature
Su PITAGORA:
"In Platone, Sant'Agostino, Tommaso d'Aquino, Cartesio, Spinosa e Leibniz, vi è un intimo intrecciarsi di religione e di ragionamento, di aspirazione morale e di ammirazione logica per ciò che è eterno. La quale viene da Pitagora… Non so di nessun altro uomo che abbia avuto altrettanta influenza nella sfera del pensiero… L'intera concezione di un mondo eterno rivelato dall'intelletto, ma non dai sensi, deriva da lui."
(B. Russell; Storia della filosofia occidentale, Longanesi, Milano, 1983)
Da PLATONE:
"… quale sarà la disciplina che attira l'anima dal mondo della generazione al mondo dell'essere ?… quella disciplina comune ed utile a tutte le arti e speculazioni e scienze, quella che ognuno deve per forza apprendere tra le prime… la scienza del numero e del calcolo… mi rendo conto di quanto sia attraente e di quanto ci sia utile da molti punti di vista per il nostro scopo (l'educazione dei re-filosofi della città ideale), se la si pratica per acquistare conoscenza, non per fare i mercanti… E' evidente che costringe l'anima a usare la pura intellezione per giungere alla puira verità… per tutte queste ragioni non si deve trascurare questa disciplina, anzi vi dobbiamo educare le persone naturalmente meglio dotate." (Repubblica, libro VII)
Da Sant’AGOSTINO
"Ho esplorato anche il mio cuore per sapere, esaminare e scrutare
la sapienza e il numero." (Riportando l'Ecclesiaste 7.25 in De libero arbitrio)"… senz'altro è evidente che entrambi (la sapienza ed il numero) sono immutabili ed immutabilmente veri."
Da San TOMMASO D’AQUINO
"Alcuni speculabili… quantunque dipendano dalla materia secondo l'essere, non ne dipendono secondo la considerazione, poiché nella loro definizione non sim pone la materia sensibile, come nei casi della linea o del numero: e di tali speculabili si occupa la matematica." (Commenti a Boezio; Sulla Trinità, Questione V , Art.1)
"Nelle scienze matematiche si procede soltanto attraverso ciò che appartiene all'essenza di una cosa, dal momento che tali scienze si servono della sola causa formale; e perciò in esse non si dimostra una proprietà di una cosa per mezzo di un'altra cosa ma per mezzo della definizione propria di quella cosa … la matematica è intermedia tra la scienza naturale e quella divina, e più certa di entrambe… il procedimento della matematica è inoltre più certo di quello della scienza divina, perché ciò su cui verte la scienza divina è più lontano dai sensi …" (ibidem, Questione VI, Art. 1)
Bibliografia
J.D. Barrow Teorie del tutto,
Adelphi (1992), cap. 9;
J.D. Barrow La luna nel pozzo cosmico,
Adelphi (1994), cap. 3 – 6;
P. Davies I misteri del tempo,
A. Mondadori (1996);
E.De Giorgi Riflessioni su Matematica e Sapienza,
quaderni dell'Acc. Pontiniana (1996);K. Devlin Dove va la matematica,
Boringhieri (1994), cap. 2 e 6;
H.Hahn-O.Neurath-R.Carnap La concezione scient. del mondo,
Laterza (1979);R.Hersh Cos'è davvero la matematica
Baldini-Castoldi (2001);
E.Nagel-J.R.Neumann La prova di Godel,
Boringhieri (1974);
P. Odifreddi La matematica del Novecento,
Mondatori (2000);
S. Singh L'ultimo teorema di Fermat,
RCS (1997)
S.Dehaene Il pallino della Matematica
Mondatori (2000)
D.Tall Advanced Mathematical Thinking
Kluwer Academic Publishers (1991)
???
L'intelligenza Matematica ???___________________________________
M.Emmer La perfezione visibile (Ed. Riuniti ?)