Dimensionamento di un quadrupolo passa basso
Progettiamo un filtro passabasso con frequenza di ripple
e ripple
di guadagno
, che presenza un'attenuazione
alla frequenza
.
Il parametro di ripple e , vale:
e il coefficiente di attenuazione è
, che vale
, l'ordine del
quadrupolo deve essere, quindi:
(1)
che, approssimato all'intero superiore, vale
, cioè
. Realizziamo
inizialmente il quadrupolo con l'approssimazione di Buttherworth; i cofficienti del
corrispondente polinomio, per
, valgono:
da cui è possibile stabilire i relativi fattori di merito:
I poli della funzione di trasferimento (normalizzata) sono dati dalla relazione
,
e valgono:
che, rappresentati nel piano complesso, sono situati su una circonferenza di raggio unitario intorno all'origine:
D'altra parte, la pulsazione di taglio del quadrupolo è
, così la frequenza
di taglio vale:
La funzione di trasferimento del quadrupolo può, pertanto, essere scritta come
che, nell'intervallo (
)
ha la risposta:
Per verificare che tale funzione di trasferimento soddisfa le specifiche del progetto, calcoliamo i valori del guadagno in corrispondenza delle frequenze fc e fs; risulta:
mentre il primo valore risulta in accordo con le specifiche, il secondo è circa 10dB superiore, ciò è dovuto al fatto che si è necessariamente dovuto scegliere un valore di n intero, superiore a quello calcolato con la relazione (1).
Stabiliamo l'ordine del quadrupolo di Chebysev che soddisfa le richieste; poichè per
l'attenuazione in corrispondenza della frequenza fs, in questa approssimazione
vale:
allora è sufficiente un filtro di ordine
per soddifare le richieste. Per
i
poli della funzione di trasferimento sono dati dalla relazione
e valgono:
che, rappresentati nel piano complesso, sono situati su una ellisse intorno all'origine:
la funzione di trasferimento si scrive, quindi:
e vale, in corrispondenza delle frequenze caratteristiche:
La risposta di questo quadrupolo, comparata con quello di Buttherworth è:
Quindi in questo caso, a spese di un limitato ripple (1dB) si è ottenuto un risultato analogo al precedente con solo 3 poli.
Per confrontare i due tipi di quadrupoli a parità di numero di poli, assumiamo che sia
l'ordine del quadrupoli di Chebyshev, allora per
si ha:
e i poli sono distribuiti, relativamente al quadrupolo di Buttherworth come:
la funzione di trasferimento è ancora
e vale, in corrispondenza di fs
inoltre, la risposta
è:
